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【牛客4456题解析】最长上升子序列的动态规划+二分查找解法

2个月前 (07-16)

【牛客4456题解析】最长上升子序列的动态规划+二分查找解法 最长上升子序列 动态规划 二分查找 牛客题解 C++ 第1张

一、题目解读

牛客4456题要求在一个整数序列中寻找最长上升子序列(LIS)的长度。题目考察的核心是动态规划与高效查找算法的结合,需要设计一种能在给定序列中快速找到最长递增子序列的方法,通常需要平衡时间复杂度和代码简洁性。

二、解题思路

采用动态规划(DP)结合二分查找实现LIS求解。核心思想是:维护一个递增序列dp,每次遍历输入序列A中的元素num,通过lower_bound找到dp中第一个不小于num的位置。若未找到(即num比dp所有元素大),则扩展dp;否则替换该位置元素。由于dp始终递增,其长度即为LIS长度。此优化将时间复杂度从O(N^2)降至O(NlogN)。

三、解题步骤

1. 初始化:创建动态规划数组dp,用于存储递增子序列

2. 遍历输入序列:

○ 对每个元素num,使用lower_bound在dp中查找第一个≥num的位置it。

○ 若it为dp末尾(即num比dp所有元素大),则执行dp.push_back(num),扩展序列。

○ 否则,替换it位置的元素(*it = num),确保dp保持递增且长度最短(因LIS长度相同,但末尾元素更小,后续可容纳更多元素)。

3. 返回结果:dp的长度即为最长上升子序列的长度。

四、代码和注释

class AscentSequence {
  public:
    int findLongest(vector<int> A, int n) {
        vector<int> dp; // 维护一个递增序列
        for (int num : A) { // 遍历输入序列
            // 使用lower_bound找到第一个不小于当前元素的位置
            auto it = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), num);
            if (it == dp.end()) { // 未找到(num比dp所有元素大)
                dp.push_back(num); // 扩展序列
            } else { // 找到替换位置
                *it = num; // 替换第一个≥num的元素,保持dp递增
            }
        }
        return dp.size(); // 最终序列长度即为LIS长度
    }
};

五、总结

本解法通过动态规划结合二分查找,将LIS问题的时间复杂度优化至O(NlogN),显著提升效率。关键在于利用递增序列dp的特性,通过替换操作确保其“紧凑性”,从而在查找时可用lower_bound快速定位。该思路不仅适用于面试算法题,也为处理大规模数据的LIS问题提供了实用策略,是动态规划与高级算法结合的典型案例。

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