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牛客网288555题解题指南:动态规划求解小红的暑假(附代码解析)

2个月前 (06-21)

牛客网288555题解题指南:动态规划求解小红的暑假(附代码解析)  动态规划 组合计数 状态压缩 算法优化 第1张

一、题目解读

牛客网288555题要求解决一个组合数学问题:有三位朋友,每天需邀请其中一位参加聚会,但不能连续两天邀请同一位朋友。给定天数n,求满足条件的不同邀请方案总数。题目考察动态规划状态转移组合计数,属于中等难度算法题。

二、解题思路:动态规划 + 状态压缩

核心思想是将问题分解为子问题,利用动态规划记录中间状态。定义四维DP数组:dp[a][b][c][last],表示已邀请朋友1 a次、朋友2 b次、朋友3 c次,且最后一天邀请的是last(1/2/3)的方案数。通过状态转移方程枚举下一位朋友的选择,避免重复计数。

三、解题步骤

1. 初始化:第一天可选任意朋友,初始化dp[1][0][0][1]、dp[0][1][0][2]、dp[0][0][1][3]为1。

2. 状态转移循环:遍历所有可能的(a,b,c)组合,若当前状态dp[a][b][c][last]有效:

    枚举下一个朋友next(1/2/3),跳过与last相同的情况。

    更新次数:na=a+(next=1), nb=b+(next=2), nc=c+(next=3)。

    若次数不超n,累加方案数:dp[na][nb][nc][next] += dp[a][b][c][last]。

3. 结果计算:最终方案为所有朋友均被邀请n次的状态总和,即dp[n][n][n][1] + dp[n][n][n][2] + dp[n][n][n][3](取模防止溢出)。

四、代码与注释

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;   // 取模常数,防止结果溢出
const int MAX_N = 100;    // 最大天数限制

// dp[a][b][c][last] 表示选了a次朋友1,b次朋友2,c次朋友3,最后选的是last的方案数
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1][MAX_N+1][4];

int main() {
    int n;
    cin >> n;          // 输入天数n

    memset(dp, 0, sizeof(dp));   // 初始化dp数组为0

    // 初始状态:第一天可选任意朋友
    dp[1][0][0][1] = 1;          // 选朋友1一次,最后为1
    dp[0][1][0][2] = 1;          // 选朋友2一次,最后为2
    dp[0][0][1][3] = 1;          // 选朋友3一次,最后为3

    for (int a = 0; a <= n; ++a) {
        for (int b = 0; b <= n; ++b) {
            for (int c = 0; c <= n; ++c) {
                if (a + b + c == 0) continue;  // 跳过全0状态(无效)

                for (int last = 1; last <= 3; ++last) {
                    if (dp[a][b][c][last] == 0) continue;  // 当前状态无效则跳过

                    // 尝试选择下一个朋友
                    for (int next = 1; next <= 3; ++next) {
                        if (next == last) continue;  // 避免连续选同一人

                        int na = a, nb = b, nc = c;
                        if (next == 1) na++;        // 更新次数
                        else if (next == 2) nb++;
                        else nC++;

                        if (na <= n && nb <= n && nc <= n) {
                            // 累加方案数(取模)
                            dp[na][nb][nc][next] = (dp[na][nb][nc][next] + dp[a][b][c][last]) % MOD;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 最终结果是所有朋友都被选n次的总和
    int result = 0;
    for (int last = 1; last <= 3; ++last) {
        result = (result + dp[n][n][n][last]) % MOD;  // 取模求和
    }

    cout << result << endl;
    return 0;
}

五、总结

本题通过动态规划巧妙解决组合限制问题,关键在于四维状态设计(次数+末尾选择)和转移条件的严谨性。优化点包括利用取模运算避免大数溢出,以及跳过无效状态提升效率。掌握此类状态压缩技巧,可应对更多复杂计数问题。


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