洛谷P2412题解：后缀树高效解决字符串比较问题

一、题目解读

洛谷P2412题要求处理一组字符串，并支持区间内字典序最小字符串的查询。题目关键在于高效处理字符串比较与查找，传统暴力方法时间复杂度无法满足需求，需引入更优的数据结构。

二、解题思路

采用**后缀树（ST表）**解决。核心思路为：

1. 预处理：将输入字符串转为小写，避免重复字符转换，减少比较开销。

2. 构建ST表：利用倍增思想，通过logN级预处理，保存每个区间的最小值索引。

3. 查询优化：利用二分查找原理，通过ST表快速定位区间内字典序最小的字符串索引。

三、解题步骤

1. 输入处理：读取N个字符串，存储原版与预处理小写版本。

2. ST表构建：

○ 初始化第一层级（log2(N)级）：直接记录每个位置的原索引。

○ 递进层级：通过比较相邻区间的字典序最小值，合并生成更高层索引。

3. 查询实现：

○ 计算查询区间长度对应的ST层级j。

○ 比较区间两端对应层级的最小值，返回字典序更小者。

四、代码与注释

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 构建后缀树（ST表）
vector<vector<int>> buildST(const vector<string>& words) {
    int n = words.size();
    int k = log2(n) + 1; // 层级数量
    vector<vector<int>> st(n, vector<int>(k)); // 存储各层级区间最小值索引
    
    // 预处理小写版本避免重复转换
    vector<string> lower_words(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        lower_words[i].resize(words[i].size());
        transform(words[i].begin(), words[i].end(), lower_words[i].begin(), ::tolower);
    }

    // 初始化第一层级（每个位置即为自身最小值）
    for(int i = 0; i < n; ++i) st[i][0] = i;
    
    // 递进构建高层级
    for(int j = 1; (1<<j) <= n; ++j) { // 遍历层级
        for(int i = 0; i + (1<<j) - 1 < n; ++i) { // 遍历起始位置
            int x = st[i][j-1], y = st[i+(1<<(j-1))][j-1];
            // 比较两个子区间的最小值（考虑字典序相同则取索引小者）
            st[i][j] = (lower_words[x] > lower_words[y] || (lower_words[x] == lower_words[y] && x > y))? x : y;
        }
    }
    return st;
}

// 查询区间字典序最小值索引
int query(const vector<vector<int>>& st, const vector<string>& words, const vector<string>& lower_words, int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int j = log2(len); // 对应层级
    int x = st[l][j], y = st[r - (1<<j) + 1][j];
    return (lower_words[x] > lower_words[y] || (lower_words[x] == lower_words[y] && x > y))? x : y;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, m;
    cin >> n >> m; // 输入字符串数量与查询次数
    vector<string> words(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) cin >> words[i];
    
    auto st = buildST(words);
    vector<string> lower_words(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        lower_words[i].resize(words[i].size());
        transform(words[i].begin(), words[i].end(), lower_words[i].begin(), ::tolower);
    }
    
    while(m--) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        x--; y--;
        int pos = query(st, words, lower_words, x, y);
        cout << words[pos] << '\n';
    }
    
    return 0;
}

五、总结

本解法通过后缀树（ST表）将区间查询优化至O(logN)，结合预处理与二分思想，显著降低时间复杂度。适用于需频繁查询区间最值的场景，代码中细节（如小写预处理、字典序比较逻辑）体现了优化技巧，为同类问题提供高效解决方案。