牛客12579题解析：递归求解1~N最大奇约数之和的优化解法

一、题目解读

牛客12579题要求计算1到N的最大奇约数之和。题目核心在于理解“奇约数”概念，即N的所有奇因子之和。需高效处理大规模数据，避免超时，因此需挖掘数学规律结合算法优化。

二、解题思路

采用递归策略，巧妙将问题分解为奇数和偶数部分：

1. 奇数部分：利用等差数列求和公式。1到N的奇数和为前k个奇数的和（k=(N+1)/2），即k^2。

2. 偶数部分：递归调用calculateSum(N/2)，因偶数因子可视为1~N/2的因子扩展（如2x的因子包含x的因子）。

3. 边界处理：N<1时直接返回0，多组输入用循环接收。

三、解题步骤

1. 输入处理：循环读取N，若N≤0输出0并跳过。

2. 计算奇数部分：通过(N+1)/2获取奇数个数，平方求和。

3. 递归计算偶数部分：调用calculateSum(N/2)，叠加结果。

4. 合并输出：返回奇偶部分和。

四、代码与注释

#include <iostream>
using namespace std;

// 递归计算1~N的最大奇约数和
long long calculateSum(int N) {
    if(N < 1) return 0;  // 边界条件处理
    long long odd_cnt = (N + 1) / 2;  // 奇数个数
    long long odd_sum = odd_cnt * odd_cnt;  // 等差数列求和
    return odd_sum + calculateSum(N / 2);  // 递归叠加偶数部分
}

int main() {
    int N;
    while(cin >> N) {  // 处理多组输入
        if(N <= 0) {  
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        cout << calculateSum(N) << endl;
    }
    return 0;
}

注释解析：通过数学推导简化计算，递归深度随N减半，时间复杂度O(logN)，空间复杂度O(1)。

五、总结

该解法通过奇偶分解与等差数列公式大幅降低计算量，递归结构清晰且无需额外空间。关键在于识别数学规律与递归边界设计，适用于求解因子相关的优化问题