NOIP1998提高组车站问题（洛谷P1011）详解：斐波那契递推与数学建模

一、题目解读

本题是NOIP1998提高组的经典车站问题，要求计算特定车站的乘客数量。题目给出了始发站上车人数a、车站总数n、终点站下车人数m和目标车站x，需要通过建立数学模型来求解x站的乘客数量。这是一道典型的递推问题，考察选手的数学建模和算法实现能力。

二、参考代码的解题思路

1. 发现上下车人数遵循斐波那契数列规律

2. 使用二维数组存储各站点的上车/下车系数

3. 通过递推关系计算各站的系数值

4. 根据终点站数据反推出未知变量x1

5. 最后计算目标车站的实际人数

三、参考代码的解题步骤

1. 处理n=2的特殊情况直接返回a

2. 初始化前两站的系数矩阵

3. 循环计算各站的系数（斐波那契递推）

4. 利用终点站数据解方程求出x1

5. 代入目标车站公式计算最终结果

四、代码实现（带注释）

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
    int a,n,m,x;
    cin>>a>>n>>m>>x;
    if(n==2){ // 特殊处理只有2个车站的情况
        cout<<a;
        return 0;
    }
                    //进   总
    int arr[25][4]={0};// a x  a x
    // 初始化前两站的系数
    arr[0][0]=1;arr[0][1]=0;arr[0][2]=1;arr[0][3]=0; // 第一站系数
    arr[1][0]=0;arr[1][1]=1;arr[1][2]=1;arr[1][3]=0; // 第二站系数
    
    // 递推计算各站系数
    for(int i=2;i<n;i++){
            arr[i][0]=arr[i-1][0]+arr[i-2][0]; // 上车a系数
            arr[i][1]=arr[i-1][1]+arr[i-2][1]; // 上车x系数
            arr[i][2]=arr[i-1][2]+arr[i-2][0]; // 总人数a系数
            arr[i][3]=arr[i-1][3]+arr[i-2][1]; // 总人数x系数
    }
    // 计算x1的值
    int x1=(m-arr[n-2][2]*a)/arr[n-2][3];
    // 输出目标车站人数
    cout<<arr[x-1][2]*a+arr[x-1][3]*x1;
    
    return 0;
}

五、总结

本题通过建立斐波那契递推模型，巧妙地解决了车站上下客问题。关键在于发现上下车人数的递推规律，并通过系数矩阵来记录各站的参数变化。这种方法不仅适用于本题，也可以推广到类似的递推问题中。