洛谷P1033题（2002年NOIP提高组）：基于物理公式用C++解决自由落体
20小时前
一、题目解读
洛谷P1033题要求计算小车在限定时间内能接住多少自由落体的小球。输入参数包括天花板高度H、小车初始位置S1、速度V、长度L、高度K及小球数量n。题目需结合物理运动学公式，判断每个小球的初始位置是否在小车运动范围内的指定时间段内，考验对运动轨迹建模与边界条件处理的综合能力。
二、解题思路
采用“物理公式推导+区间判定”策略：
1. 时间范围计算：利用自由落体公式（t=√(2h/g)）计算小球从H-K到H落地的时间区间[t_min, t_max]。
2. 位置范围推导：结合小车速度V，得出对应时间段内小车可移动的范围[s_min, s_max]。
3. 遍历判定：检查每个小球位置是否落入该区间，利用容错值（±0.0001）处理浮点数精度问题。
核心逻辑将物理运动转化为数学区间判断，避免复杂模拟，提升效率。
三、解题步骤
1. 输入参数：读取H、S1、V、L、K、n。
2. 计算时间边界：
○ t_min = √(2×(H-K)/10)（小球触及小车顶部的最晚时间）。
○ t_max = √(2×H/10)（小球落地最长时间）。
3. 推导位置区间：
○ s_min = S1 - V×t_max（小车最左端位置）。
○ s_max = S1 + L - V×t_min（小车最右端位置）。
4. 遍历小球判定：
○ 对每个小球位置ball_pos，若ball_pos∈[s_min±0.0001, s_max±0.0001]，计数+1。
5. 输出结果：统计接住的小球数量count。
四、代码与注释
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
// 输入参数：H-天花板高度，S1-小车初始位置，V-小车速度，L-小车长度，K-小车高度，n-小球数量
double H, S1, V, L, K, n;
cin >> H >> S1 >> V >> L >> K >> n;
int count = 0; // 记录能接到的小球数量
// 计算小车运动的时间范围
double t_min = sqrt(2 * (H - K) / 10.0); // 小车顶部刚好能接到球的最晚时间
double t_max = sqrt(2 * H / 10.0); // 小球落地的最长时间
// 计算小车在这段时间内的位置范围
double s_min = S1 - V * t_max; // 小车最早能接到球的位置
double s_max = S1 + L - V * t_min; // 小车最晚能接到球的位置
// 遍历所有小球，检查是否在小车可接范围内
for (int i = 0; i < n; ++i) {
double ball_pos = i; // 第i个小球的初始位置
// 检查小球位置是否在小车可接范围内
if (ball_pos >= s_min - 0.0001 && ball_pos <= s_max + 0.0001) {
count++;
}
}
cout << count << endl;
return 0;
}五、总结
该解法巧妙融合物理公式与数学区间思想，通过精准推导时间-位置关系，将动态问题静态化。代码利用浮点数容错机制（±0.0001）规避精度误差，兼顾效率与准确性。关键点在于理解运动学模型与边界条件的转换，为处理物理模拟类问题提供典型范式。
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