洛谷P8814题解：数学方程求解与算法优化详解

一、题目解读

洛谷P8814题要求解决一个数学问题，核心在于通过给定的参数 n, d, e 求解满足特定条件的整数 p, q。题目涉及二次方程求解与逻辑判断的组合，需要找到符合 p*q=n 且 (p-1)*(q-1)+1=e*d 的可行解，并输出结果或 "NO"。

二、解题思路

用数学建模与逻辑验证结合的策略：

1. 核心公式推导：通过方程变换将 p+q 表示为 m=n-e*d+2，利用二次方程 x^2-mx+n=0 的判别式 Δ=m²-4n 判断实数根存在性。

2. 关键验证点：

○ 判别式必须为非负整数，且平方根需精确等于 Δ（排除浮点数误差）。

○ 解出的 p, q 必须为正整数，且同时满足乘积与条件等式。

3. 优化细节：通过位运算 ios::sync_with_stdio(false) 加速输入，减少IO耗时。

三、解题步骤

1. 输入处理：循环读取每组 k 次测试数据，解析 n, d, e。

2. 计算中间变量：

○ 推导 m=n-e*d+2（对应二次方程的根和公式）。

○ 计算判别式 delta=m²-4n。

3. 实数解判断：

○ 若 delta<0，直接输出 "NO"。

○ 若 sqrt(delta) 非整数（通过平方对比验证），输出 "NO"。

4. 解方程求解：通过公式 p=(m-sqrt_delta)/2, q=(m+sqrt_delta)/2 计算根。

5. 条件验证：

○ 检查 p, q 是否为正数。

○ 验证乘积 p*q=n 与额外条件 (p-1)(q-1)+1=e*d。

○ 全部满足则输出 p, q，否则 "NO"。

四、代码与注释

#include <iostream>  
#include <cmath>  
using namespace std;  

void solve() {  
    long long k, n, d, e;  
    cin >> k;  
    while (k--) {  
        cin >> n >> d >> e;  
        long long m = n - e * d + 2; // 计算 p+q  
        long long delta = m * m - 4 * n; // 计算判别式  
        
        if (delta < 0) {  
            cout << "NO\n";  
            continue;  
        }  
        
        long long sqrt_delta = sqrt(delta);  
        if (sqrt_delta * sqrt_delta!= delta) {  
            cout << "NO\n";  
            continue;  
        }  
        
        long long p = (m - sqrt_delta) / 2;  
        long long q = (m + sqrt_delta) / 2;  
        
        if (p > 0 && q > 0 && p * q == n && (p-1)*(q-1)+1 == e*d) {  
            cout << p << " " << q << "\n";  
        } else {  
            cout << "NO\n";  
        }  
    }  
}  

int main() {  
    ios::sync_with_stdio(false); // 加速IO  
    cin.tie(nullptr);  
    solve();  
    return 0;  
}

注释说明：代码通过二次方程求解根，并结合逻辑判断验证解的有效性，使用优化指令提升效率。

五、总结

该解法巧妙将问题转化为二次方程求解，通过严格的数学验证与条件判断确保正确性。关键在于：

1. 准确推导中间变量 m 与 delta。

2. 利用整数平方根特性排除非法解。

3. 高效IO优化提升运行速度。

掌握此类数学建模与逻辑验证结合的思路，对算法竞赛中复杂条件判断类题目具有重要参考价值。